ответы

9 класс

 

  1. Пусть AC – большая сторона ,  –  средняя линия, параллельная , а M – середина . Так как  и  -- острые углы, то M проектируется внутрь отрезка AC. Пусть  – эта проекция. Проведём два разреза  и . Так как  – медиана и высота  , то . Пусть точка Q симметрична точке  относительно , точка P симметрична  относительно . Тогда  . Равные отрезки  и  – половины сторон   , значит, он равнобедренный.

 

 

 

  1. Будем доказывать утверждение индукцией по n – числу городов. Пусть n=2. Тогда утверждение очевидно.   Пусть утверждение имеет место для n=k городов. Пусть, для определённости, существует авиасообщение между всеми k городами.   Добавим ещё один город. Если он соединён авиасообщением, хотя бы с одним из k городов, то все k+1 городов соединены авиасообщением. Если же нет авиасообщения ни с одним из k городов, то отсюда следует, что (k+1)-й город соединён железнодорожным сообщением с каждым из k предыдущих городов. Следовательно,  все k+1 городов соединены друг с другом железнодорожным сообщением.  Утверждение доказано.
  2. Заметим, что если монеты разложены по чашкам поровну, то та чашка, где лежит фальшивая монета, всегда, либо  перевешивает (если фальшивая монета тяжелее настоящих), либо нет (если легче). Поэтому, если одна и та же монета при двух взвешиваниях однажды  оказалась внизу, а однажды вверху, то она – настоящая. Разложим монеты на чашки весов по две. Монеты с перевесившей чашки обозначим через 1 и 2, а с другой – 3 и 4. Вторым взвешиванием сравним 1 и 3 с 2 и 4. Если перевесит чашка с 1 и 3, то монеты 3 и 2 – заведомо настоящие, если другая – то заведомо настоящими монетами являются 1 и 4. Последним взвешиванием мы сравниваем две заведомо настоящие монеты с двумя другими. Пусть настоящими монетами являются монеты 2 и 3. Тогда если чашка с ними перевесит, то фальшивая монета легче и, следовательно, это монета 4; если же наоборот, то фальшивая монета тяжелее и это монета 1. Случай, когда настоящими монетами оказываются после второго взвешивания монеты 2 и 4, разбирается аналогично.
  3. Ответ: 2. Пусть на последнем месте в строке стоит число x. Сумма всех чисел в строке, кроме x, делится на x. Но тогда и сумма всех чисел в строке, равная 1+2+ …+ 37=37*19, делится на x. Отсюда следует, что x=19, так как 37 уже поставлено на первое место. На третьем месте стоит делитель числа 37+1 =38 = 19*2, отличный от 1 и 19, которые стоят на других местах.   
  4. Рассмотрим 2 прямоугольника единичной площади, расположенных внутри прямоугольника площади 5. Если площадь их пересечения меньше 1/9, то площадь их объединения больше чем .  Расположим в большом прямоугольнике третий прямоугольник площади 1. Если его пересечение с каждым из предыдущих прямоугольников имеет площадь меньше 1/9, то площадь объединения трёх прямоугольников заведомо больше чем . Продолжая рассуждение,  получаем, что площадь объединения всех девяти прямоугольников единичной площади, расположенных внутри большого прямоугольника обязана быть больше, чем , если мы хотим, чтобы площадь пересечения любых двух из них меньше чем 1/9. Но это невозможно,  поскольку площадь множества не меньше площади любого его подмножества. Полученное противоречие показывает, что найдутся два прямоугольника,  площадь пересечения которых больше, чем 1/9.


Карта сайта Версия для печати © 2009 - 2017 Администрация Ростовской области