задания 10 класс

Задания  муниципального этапа всероссийской олимпиады

школьников по математике

2011-2012 учебный год

 

10  класс

 

  1. Дан набор, состоящий из 2011 чисел таких, что если каждое число заменить на сумму остальных, то получится тот же набор. Доказать, что произведение чисел в наборе равно 0.
  2. Пусть P(x) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение P(P(x))=0 имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение P(x) = 0.
  3. В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все  клетки доски  так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более, чем пяти различных цветов?  
  4. В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше  точек с целыми координатами. Докажите, что в нём найдётся m+1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
  5. Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества).

 

 

 

 



Карта сайта Версия для печати © 2009 - 2017 Администрация Ростовской области