Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады
школьников по математике
2011-2012 учебный год
10 класс
- Дан набор, состоящий из 2011 чисел таких, что если каждое число заменить на сумму остальных, то получится тот же набор. Доказать, что произведение чисел в наборе равно 0.
- Пусть P(x) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение P(P(x))=0 имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение P(x) = 0.
- В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более, чем пяти различных цветов?
- В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше точек с целыми координатами. Докажите, что в нём найдётся m+1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
- Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества).