ответы

10 класс

 

  1. Пусть сумма чисел в наборе равна M, тогда число a из набора заменяется на число b=M – a. Просуммируем эти равенства для всех a:    , откуда M=0, так как   . Значит, для любого числа a число b= –a также входит в набор и все числа разбиваются на пары (a, –a). Из нечётности их количества вытекает, что в набор входит число a =–a = 0. Поэтому произведение всех чисел обязано равняться 0.     
  2. Пусть   – все различные корни уравнения . Нам необходимо доказать, что уравнение   имеет по крайней мере n различных корней. Рассмотрим n различных уравнений . Каждое из них имеет решение, так как  многочлен нечётной степени. Пусть  , то есть  корни уравнения . Заметим, что поскольку  , то  -- различные корни. Таким образом, уравнение  имеет по крайне мере n различных корней. 
  3. Ответ: 41. Пример такой раскраски получается  следующим образом 1234******  *5678*****  **9 10 11 12 ****   ***13 14 15 16 ***   **** 17 18 19 20 **   ***** 21 22 23 24 *  ******25 26 27 28   32 ****** 29 30 31   35 36 ****** 33 34    38 39 40 ****** 37. Здесь пробелы разделяют строки, а * обозначает 41 цвет. Если в каждой строке встречается не более 4 цветов, то всего цветов не более 40. Пусть в какой-то строке А встретилось 5 цветов. Если в любой оставшейся строке имеется не более 4 цветов, не встречающихся в А, то всего цветов не более 5+ 4*9=41. Иначе найдётся строка B, в которой встречается 5 цветов, отличных от цветов строки A. Назовём 10 цветов строк А и B «старыми», а все остальные цвета – «новыми». Теперь в каждом столбце встречается хотя бы 2 старых цвета (в строках А и B), поэтому новых там не более 3. Следовательно, всего в таблице 10 старых и не более 30 новых цветов. Итого, не более 40 цветов.     
  4. По принципу Дирихле среди  точек с целыми координатами найдутся такие точки , , что . Тогда m+1 точек , имеют целые координаты и лежат на отрезке, соединяющем точки   и .
  5. Пусть A и B – любые две точки данного множества M, расстояние между которыми равно диаметру d этого множества. Тогда из определения диаметра следует, что если , то P лежит внутри или на границы «линзы», образованной пересечением кругов радиуса d с центрами A и B. Докажем, что на одной из дуг AKC и BLD нет точек множества M, то есть что если  . Действительно, если , и из теоремы косинусов получаем , так как   . Пусть, например, на дуге AC нет точек множества M за исключением точки A. Тогда, выбросив точку  A и разделив оставшееся множество точек на части по прямой AB, получим искомое разбиение, добавив точки прямой AB к левой части, так как в каждой половине «линзы» только расстояния от границ до точек A или B могут равняться d.  

                  

 

 



Карта сайта Версия для печати © 2009 - 2017 Администрация Ростовской области