Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады
школьников по математике
2011-2012 учебный год
11 класс
- Действительные числа x и y таковы, что для любых различных нечётных простых чисел p и q число рационально. Докажите, что x и y – рациональные числа. Пусть P(x) – многочлен нечётной степени.
- Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число. Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?
- В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более, чем пяти различных цветов?
- Найти все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные числа x и y, что .
- На прямой задана система отрезков, общая длина которых меньше 1. Доказать, что произвольное множество, состоящее из n принадлежащих прямой точек можно сдвинуть вдоль прямой на вектор, не превышающий n/2 так, чтобы ни одна из сдвинутых точек не принадлежала ни одному из заданных отрезков.