ответы

11 класс

 

  1. Из рациональности  следует рациональность чисел . Возьмём p=3, r=5, s=7. Тогда  рациональны. Если b=0, то x=0 или ,  то есть x рационально. Если же  то  рационально. Но тогда из равенства   следует рациональность x.  Аналогично доказывается, что y – рациональное число. 
  2. Ответ: 2. Пусть на последнем месте в строке стоит число x. Сумма всех чисел в строке, кроме x, делится на x. Но тогда и сумма всех чисел в строке, равная 1+2+ …+ 37=37*19, делится на x. Отсюда следует, что x=19, так как 37 уже поставлено на первое место. На третьем месте стоит делитель числа 37+1 =38 = 19*2, отличный от 1 и 19, которые стоят на других местах.
  3. Ответ: 41. Пример такой раскраски получается  следующим образом 1234******  *5678*****  **9 10 11 12 ****   ***13 14 15 16 ***   **** 17 18 19 20 **   ***** 21 22 23 24 *  ******25 26 27 28   32 ****** 29 30 31   35 36 ****** 33 34    38 39 40 ****** 37. Здесь пробелы разделяют строки, а * обозначает 41 цвет. Если в каждой строке встречается не более 4 цветов, то всего цветов не более 40. Пусть в какой-то строке А встретилось 5 цветов. Если в любой оставшейся строке имеется не более 4 цветов, не встречающихся в А, то всего цветов не более 5+ 4*9=41. Иначе найдётся строка B, в которой встречается 5 цветов, отличных от цветов строки A. Назовём 10 цветов строк А и B «старыми», а все остальные цвета – «новыми». Теперь в каждом столбце встречается хотя бы 2 старых цвета (в строках А и B), поэтому новых там не более 3. Следовательно, всего в таблице 10 старых и не более 30 новых цветов. Итого, не более 40 цветов.  
  4. Ответ: 2 и 3. Первое решение. Заметим, что  . Если , то . Пусть . Тогда p – общий делитель чисел  и , а значит и чисел  и . Отсюда, в силу того, что  НОД(y,y+1)=1, p=3. Так бывает .  Второе решение.  , где A делится на p. Поскольку , то либо p=3, либо . В последнем случае .
  5. Пусть ,  –  выбранные точки на прямой, A – объединение заданных отрезков общей длиной меньше 1,   – отрезок длины n с серединой в точке . Множество  представляет собой объединение отрезков общей длины меньше 1. Рассмотрим сдвиги на вектор , переводящие точку  в . Заметим, что под действием сдвига отрезок переходит в отрезок равной длины. Поэтому суммарная длина отрезков из  под действием сдвига не изменится, то есть по-прежнему будет меньше 1. Суммарная длина отрезков из объединения образов всех множеств  под действием всех сдвигов (включая тождественный)   заведомо меньше n. Поэтому найдётся такая точка S из отрезка , которая не принадлежит объединению образов всех множеств . Легко видеть, что сдвиг конечного множества  на вектор  приводит к тому, что полученное множество точек не пересекает множество A.

 



Карта сайта Версия для печати © 2009 - 2017 Администрация Ростовской области