8 класс

 

  1. На доске написано число 6. Разрешается дописать число равное квадрату уже написанного числа или равное сумме двух любых уже написанных. Может ли сумма всех чисел, написанных на доске, стать равной 2013?
  2. Треугольник  – равнобедренный (=). Отрезок  делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями:  и . Найдите угол B.
  3. Изобразите множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству .
  4. Является ли число  полным квадратом?
  5. Садовник посадил деревья в несколько рядов по 4 дерева в каждом. При этом одно дерево осталось лишним. Тогда садовник посадил деревья в ряды по 5 штук. И снова одно дерево осталось лишним. Когда же при посадке в ряды по 6 опять одно дерево осталось лишним, садовник пересадил деревья в ряды по 7, и лишних деревьев не осталось. Какое наименьшее количество деревьев могло быть у садовника?

 

9       класс

 

  1. Вкладчик вносит в банк некоторую сумму. Банк может либо увеличить текущую сумму счета на 17%, либо уменьшить на 17%. Может ли в результате нескольких таких операции на счету оказаться исходная сумма?
  2. Садовник посадил деревья в несколько рядов по 4 дерева в каждом. При этом одно дерево осталось лишним. Тогда садовник посадил деревья в ряды по 5 штук. И снова одно дерево осталось лишним. Когда же при посадке в ряды по 6 опять одно дерево осталось лишним, садовник пересадил деревья в ряды по 7, и лишних деревьев не осталось. Какое наименьшее количество деревьев могло быть у садовника?
  3. Докажите, что  при любых  и .
  4. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям и пересекающая боковые стороны в точках E и F. Отрезок EF равен 2. Найдите основания, если их отношение равно 4.
  5. На книжной полке стоят 30 томов советской энциклопедии. За одну операцию разрешается менять местами любые две соседних книги. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения?

 

10 класс

 

  1. Вкладчик вносит в банк некоторую сумму. Банк может либо увеличить текущую сумму счета на 23%, либо уменьшить на 19%. Может ли в результате нескольких таких операции на счету оказаться исходная сумма?
  2. На доске нарисован график функции   и шесть прямых, параллельных прямой . Найдите произведение абсцисс всех двенадцати точек пересечения.
  3. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна первому члену, умноженному на 5, а сумма первых пятнадцати членов равна 100. Найти сумму первого, шестого и одиннадцатого членов этой прогрессии.
  4. Точка  расположена на диаметре  окружности радиуса . Точки  и  лежат на окружности в одной полуплоскости относительно ,
    а   =  = 60°.  Найдите длину отрезка .
  5. За круглым столом сидят 30 гномов. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что среди двух соседей каждого лжеца есть ровно один лжец. При опросе 12 из гномов показали, что ровно один из их соседей - лжец, а остальные сказали, что оба соседа лжецы. Сколько лжецов сидит за столом?

 

11 Класс

 

  1. Известно, что . Найти .
  2. На доске нарисован график функции   и 2013 прямых, параллельных прямой . Найдите произведение абсцисс всех точек пересечения графиков данных функций.
  3. Даны три целых числа x, y, z, удовлетворяющих уравнению x3 + y3 = z3. Доказать, что хотя бы одно из них делится на 3.
  4. В некотором тетраэдре соединили середины противоположных ребер. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше половины суммы всех ребер тетраэдра.
  5. Пусть заданы 2013 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов. Сколько элементов содержит объединение всех этих 2013 множеств?